向量微積分與積分定理
散度定理
/ GOWSS for Gauss /
想像一個裝滿運動流體的封閉氣球，問：每秒有多少流體穿過氣球的皮離開？你可以在整個表面上一片一片地測量流出量——或者你可以鑽到內部，把散布在體積裡的所有小源和小匯加起來。散度定理說這兩種帳目必須嚴格相符：穿過邊界的，等於內部所產生的。
確切地說，對向量場 F 和以閉曲面 S 為邊界（向外定向）的立體區域 V，散度定理陳述：在 S 上的通量積分 F dot n dS 等於在 V 上的三重積分 (div F) dV。左邊是穿過曲面的總向外通量；右邊是源密度（散度）在內部的積分。它是三個經典定理中維數最高的一個，物理上也最簡潔：流出的總通量等於內部的總源，沒有任何餘項。
散度定理是連續介質物理中每一條守恆律的骨架。電磁學中的高斯定律字面上就是這個定理應用於電場：E 穿過閉曲面的通量等於所圍電荷除以 epsilon_0。連續性方程——某個量在一個區域內累積的速率等於其電流向外通量的負值——由它導出，支配著質量、電荷與能量的守恆。它也是把物理定律的積分（整體）形式與微分（局部）形式相互轉換的工具。
對 F = (x, y, z)、V 取單位球，div F = 3，所以右邊是 3 乘以球的體積 4 pi/3 = 4 pi。左邊是穿過單位球面的通量，我們求得為 4 pi——定理的兩半相符。
向外通量 4 pi 等於散度的體積積分 4 pi——一個球裡就見到了定理。
曲面必須是閉的（它必須完全圍住體積）且向外定向，而且 F 在整個 V 上必須光滑；對內部有奇點的場——如點電荷處的平方反比場——樸素的體積積分會失效，正確的帳目（它還原出帶所圍電荷的高斯定律）用的是狄拉克 delta 源，而非普通的可積散度。
又稱
另見