功積分

在初等物理中，功是力乘以距離——但只有沿你運動方向的那部分力才做功，而且只有當力和路徑都不變時才如此。功積分把這一點推廣到逐點變化的力和彎曲的路徑：它是力沿路徑分量的累計，隨你在向量場中移動而一步步累加。

如果 F 是力場、路徑是 C，所做的功就是向量線積分 W = integral over C of F dot dr。在沿路徑的每一微小步 dr 上，貢獻是 F dot dr，它自動挑出 F 平行於運動的分量（垂直於你這一步的力做功為零）。把路徑參數化為 r(t)，這就變成普通積分 W = integral of F(r(t)) dot r'(t) dt。點積在做物理：它留下推力中幫助你前進的那部分，丟棄只是把你橫向推開的那部分。

功積分是向量線積分的物理面孔，也是能量方法的入口。當力場是保守的——某個勢的梯度——功只依賴於端點而不依賴於路線，且等於勢能的下降；這正是幾何化的功能定理。引力與靜電力是保守的，所以它們的功積分與路徑無關；摩擦力不是，這恰恰是為什麼摩擦力耗散的能量依賴於你走過的整條路徑。