梯度定理

微積分基本定理說，在一個區間上對導數積分，結果不過是原函數在兩端點的差——雜亂的累積坍縮成兩次取值。梯度定理恰恰是把這一陳述提升到空間中的曲線：沿一條路徑對一個函數的梯度積分，得到的是這個函數在路徑兩端的差，無論中間路徑如何蜿蜒。

確切地說，若 phi 是純量場、C 是從點 A 到點 B 的曲線，則 integral over C of grad phi dot dr = phi(B) - phi(A)。向量場 grad phi 是 phi 的多元導數；線積分沿 C 把它累積起來；而答案只看端點。這正是保守場的功積分與路徑無關的原因：一旦你知道場是 grad phi，你根本不必算積分——只需相減兩個勢值。它是積分定理中最簡潔的一個，假設條件也最低。

梯度定理是連接四個最終被證明等同的想法的拱頂石：場是某個梯度、有一個勢、線積分與路徑無關、繞閉迴路環量為零。在物理中，它就是保守力所做的功等於勢能下降這一陳述，也就是勢能的定義本身。它還是更大定理的真正祖先——格林定理、斯托克斯定理與散度定理都是同一織物裁出的、更高維的微積分基本定理。