圍道積分（contour integration）
實積分沿數軸的一段掃過。圍道積分則沿一條穿過二維複平面的路徑行走，邊走邊把複函數的值累加起來。它是整個本領域的核心運算——其魔力在於：答案往往只取決於路徑圍住了哪些奇點，而不取決於路徑的確切形狀，於是你儘可把路線彎成任何讓計算變容易的樣子。
形式上，對函數 f(z) 和由 z(t) 參數化的定向曲線 C，圍道積分是 f(z) dz 沿 C 的積分，按參數算即 f(z(t)) 乘 z'(t) dt 的積分——它是向量場線積分的複值類比。定向要緊：反向會令符號翻轉，而繞閉合迴路的標準正向是逆時針。當 f 在閉圍道上及其內部解析時，積分為零（柯西定理）；當奇點落在內部時，積分從每個奇點收取一份乾淨的貢獻，這便是留數定理的內容。
圍道積分是複分析的實際回報。那些抵抗一切初等技巧的實積分——(sin x)/x 的積分、1/(1 + x^4) 的積分、物理中的振盪與反常積分——只需在上半或下半平面把圍道閉合、讀出留數，便一兩行內拿下。它還計算拉普拉斯與傅立葉逆變換（布羅姆維奇積分）、對無窮級數求和，並定位那些決定控制系統是否穩定的根與極點。
把 f(z) = 1/z 沿單位圓 z = e^{i t}（t 從 0 到 2 pi）逆時針積分。則 dz = i e^{i t} dt，f(z) dz = (i e^{i t} / e^{i t}) dt = i dt，故積分為 i 乘 2 pi = 2 pi i。路徑把 z = 0 處的奇點繞了一圈，繞它的任何別的迴路都給出同樣的 2 pi i——值取決於是否圍住，而非形狀。
基本奇蹟：1/z 的迴路積分是 2 pi i，與迴路的形狀無關。
路徑無關並非無條件：它只在函數解析之處成立。越過一個奇點或一條分支切割，值就會改變。全部技藝就在於選取一條避開切割、只困住你想計數的那些奇點的圍道。