用留數計算實積分（evaluation of real integrals by residues）

這便是激勵起整門學問的大回報。有些實積分——沿實軸的、再尋常不過的積分——能挫敗大一微積分的一切方法：換元不行，分部不行，部分分式也撬不開。然而只要離開實軸、繞道複平面、再數留數，它們便幾行內倒下。用留數計算實積分，就是把一個實問題暫時變複、從而求解它的技藝。

這套配方有幾個標準招式。對整條實軸上的有理函數，你用上半平面的一個大半圓把圍道閉合；當半徑增大時半圓的貢獻趨於零（只要被積函數衰減得夠快），於是實積分等於 2 pi i 乘以上半平面內留數之和。對含 sin 與 cos 的整週期積分，你代換 z = e^{i theta}，把積分化為繞單位圓的迴路。對振盪積分（帶傅立葉型因子 e^{i k x}），約當引理保證弧上貢獻消失，你只需挑指數衰減的那個半平面。帶根式或對數的被積函數則需要一條纏繞分支切割的鎖孔圍道。

這是一種貨真價實的方法，絕非障眼法。複積分與實積分由誠實的定理相聯——柯西定理與留數定理——而那殺掉添加弧段的極限論證是嚴格的（約當引理、用弧上最大值作估計）。它是貫穿物理與工程的積分的標準路徑：衍射積分、格林函數、波函數的歸一化、電動力學中的響應函數，以及拉普拉斯逆變換，無不在一條選得好的圍道與一份留數清單前折服。