高級積分技巧
柯西主值（Cauchy principal value）
/ KOH-shee /
有些積分在通常意義下是發散的——它們在區間內部某點炸開，比如 1/x 跨過零點的積分——然而兩側的無窮大互為鏡像，本應抵消。柯西主值是認真對待這種抵消的一種謹慎辦法：你在麻煩點周圍挖去一個對稱的小窗口，並讓它從兩側同步、均勻地收縮，從而捕捉到誠實的極限所揭示的有限答案。
確切地說，對位於 [a, b] 內部 c 處的奇點，主值是當 epsilon 趨於零時，[a, c - epsilon] 上的積分加 [c + epsilon, b] 上的積分的極限——兩側用同一個 epsilon。這種對稱至關重要。若讓兩個缺口以不同速率收縮，你能得到任何想要的答案，這正是普通積分發散的原因；主值挑出那個唯一平衡、對稱的極限。同樣的想法處理無窮區間：整條直線上積分的主值是 [-R, R] 上積分當 R 增大時的極限。
主值在物理和信號處理中不可或缺：希爾伯特變換、色散關係（克拉默斯-克勒尼希）和索霍茨基-普萊梅利公式全都建立在主值積分上，並在響應函數於實軸上有極點時出現。誠實的警告是：主值是一種更弱的、有條件的積分概念——它憑抵消而存在，所以你必須始終明寫 P.V.；主值並不等同於積分收斂，把它當作收斂會掩蓋一個真正的發散。
1/x 從 -1 到 1 的積分發散，但它的柯西主值是 0：由對稱性，[-1, -epsilon] 上的積分（即 ln(epsilon)）對每個 epsilon 都恰好抵消 [epsilon, 1] 上的積分（即 -ln(epsilon)）。
對稱地收縮缺口，讓等大反向的無窮相互抵消，得到一個有限值。
主值取決於取極限時的對稱方式。若你不對稱地挖去奇點，答案就會變，所以必須註明 P.V.；它是一種正則化，而非普通積分收斂的證明。
又稱
另見