希爾伯特變換

這個家族裡大多數變換把函數送進一個不同的域——頻率、標度——在那裡變量有了新的含義。希爾伯特變換不一樣：它接收一個時間的函數，返回另一個時間的函數，同一類對象。它所做的是一次精確的相位旋轉：把每個頻率分量旋轉九十度，把每個餘弦變成正弦、每個正弦變成負餘弦，卻不動任何振幅。

它的定義是與 1/(pi x) 的卷積：f 的希爾伯特變換是 H f(x) = (1/pi) 乘以 integral of f(t)/(x minus t) dt 的柯西主值。被積函數在 t = x 處發散，所以這個積分必須讀作柯西主值，對稱地排除那個奇點——這不是可選項，而是定義的一部分。在頻率域中這個操作既簡單又揭示了它的本質：希爾伯特變換把頻譜乘以 minus i 乘以頻率的符號，這是一個純粹的九十度相移（負頻率上加九十度，正頻率上減九十度），且處處模為一。

它的核心用途是構造解析信號：f(x) 加上 i 乘以它的希爾伯特變換，是一個不含負頻率成分的複信號，從中可以直接讀出一個實信號的瞬時振幅（包絡）和瞬時相位——這在通信、振動分析、地震學和雷達中不可或缺。同一套機制給出單邊帶調制。它還有一層深刻的理論角色：一個解析函數邊界值的實部與虛部互為希爾伯特變換，這正是克拉默斯-克勒尼希關係的內容，它把一種物理介質的吸收與折射綁在一起，是因果律的直接後果。主值是不容商量的小字註腳：忽略它，定義積分就毫無意義。