傅立葉變換
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想像在鋼琴上按下一個和弦。你的耳朵聽到的是一個聲音，但調音 App 卻把它拆成幾個尖銳的峰——各個音符及其響度。傅立葉變換就是那個 App 的數學版本：它接收一個寫成時間（或空間）函數的信號，告訴你其中含有多少每一種純頻率的成分。傅立葉級數對週期信號用一組離散的諧波做這件事，而傅立葉變換則對一次性、不重複的信號做同樣的事，得到的答案是一條覆蓋所有頻率的光滑曲線，而不是一串尖峰。
精確地說，函數 f(x) 的傅立葉變換是 F(k) = 從負無窮到正無窮的 f(x) e^{-i k x} dx，其中 k 是頻率（視約定是角頻率或波數）。每個值 F(k) 衡量頻率為 k 的波 e^{i k x} 在 f 中存在的強度，做法是把這個測試波沿 f 滑動並累積它們的重疊。它作為傅立葉級數的極限出現：取一個週期為 L 的週期函數，寫出它的級數，再讓 L 無限增大；離散的諧波頻率 n 乘以 (2 pi / L) 擠成一個連續統，求和變成積分，傅立葉係數變成連續函數 F(k)。
這一個思想是信號處理、光學、量子力學和微分方程理論的脊梁。它之所以有效，靠的是一整套結構性規則——線性、平移、伸縮、卷積定理，以及它把求導變成乘以 i k 的本領——這些規則讓你能把一個困難問題搬進頻率域，在那裡用代數解出，再把答案搬回來。一個誠實的注意點：上面寫的積分只對衰減（絕對可積）的函數直接收斂；對正弦、階躍和常數，你必須用分布把定義推廣，那時答案裡會出現狄拉克 delta。
高斯函數 f(x) = e^{-a x^2} 的傅立葉變換仍是高斯函數：F(k) = sqrt(pi/a) e^{-k^2/(4 a)}。x 中又窄又高的鼓包（a 大）變成 k 中又寬又矮的鼓包，反之亦然。
高斯函數變換成它自己——而 x 中寬度與 k 中寬度的此消彼長正是不確定性原理的種子。
約定各不相同：1/(2 pi) 因子放在哪裡、指數裡用 k 還是 2 pi i k，因教材和領域而異，所以從一處抄來的公式在另一處可能差一個常數——在相信查表得到的變換之前，務必先核對約定。