導數的傅立葉變換
傅立葉變換為微分方程做的最有用的一件事，就是讓微積分消失。求導——那個讓方程變難的操作——在變換之下變成了簡單地乘以一個數。一個把函數與它的導數聯繫起來的微分方程，變成了一個你靠相除就能解的代數方程。
規則很短：若 f(x) 的變換是 F(k)，則導數 f'(x) 的變換是 i k F(k)，每多求一次導就再帶下來一個因子 i k，所以 n 階導數變換為 (i k)^n F(k)。其機制是在定義積分裡做分部積分：對 e^{-i k x} 求導產生因子 minus i k，只要 f 在無窮遠處衰減（使邊界項消失），那個因子就落到 F(k) 上。當成圖像來讀：純波 e^{i k x} 求導後給出 i k 乘以它自己，所以對波分量而言，變換把求導對角化了——每個頻率只是被 i k 縮放。
這就是為什麼傅立葉變換能如此乾淨地解線性常係數常微分方程和偏微分方程。變換整個方程，把每個 d/dx 換成 i k，一個關於 x 的微分方程就變成關於 k 的代數方程，你對它解出 F(k)；再逆變換還原出解。對熱方程，時間導數保留，而空間導數變成 minus k^2，給出 F(k, t) = F(k, 0) e^{minus k^2 t}——每個傅立葉模式只是以自己的速率衰減。誠實的條件是：為使邊界項消失，f 及其足夠多的導數必須在無窮遠處趨於零；在帶邊界條件的有限區間上，則由傅立葉變換的近親（傅立葉級數、正弦與餘弦變換）接手。
全直線上的常微分方程 minus y'' + y = f(x) 變換為 (k^2 + 1) Y(k) = F(k)，於是 Y(k) = F(k)/(k^2 + 1)。微分方程變成了一行除法；對 Y(k) 逆變換（即與 1/(k^2+1) 的變換做卷積）就給出 y(x)。
兩次求導變成因子 k^2，把常微分方程坍縮為代數；只有逆變換才需要真正的功夫。
規則 (i k)^n F(k) 默默假定分部積分的邊界項消失——這在 f 於無窮遠處衰減時成立，但在有界區間上不成立，那裡忽略邊界貢獻會給出錯誤答案。