卷積定理

拿一張清晰的照片，再拿一份描述透鏡如何把一個光點模糊化的說明。模糊後的照片，是把清晰圖像的每個點按那種模糊抹開、再把這些抹痕加起來而成的。這種抹開再求和的操作叫卷積，它無處不在：它描述模糊、回聲、平滑，以及任何線性時不變系統的輸出。卷積定理就是那一個讓卷積變得可處理的事實——它把這個彆扭的滑動重疊操作變成普通的逐點乘法。

兩個函數的卷積是 (f star g)(x) = f(t) g(x minus t) dt 的積分：你把 g 翻轉，讓它從 f 上滑過，在每個偏移處記錄它們重疊的面積。定理說：卷積的傅立葉變換是各自變換的乘積：FT{f star g} = F(k) G(k)。對偶地，乘積的變換是各變換的（帶縮放的）卷積。於是濾波——它在時間域中是信號與濾波器衝激響應的卷積——在頻率域中就變成只是逐個頻率地把信號的頻譜乘以濾波器的頻率響應。

這就是工程師和物理學家為何生活在頻率域裡。一個低通濾波器由一個頻率響應描述，它在低頻處接近 1、高頻處接近 0；施加它在那裡就是乘法，一目了然，而等價的時間域卷積卻是一個你寧可不要手算的積分。這條定理是圖像去模糊、音頻均衡、用格林函數解微分方程（格林函數正是以卷積方式起作用）的基礎——再結合快速傅立葉變換，還是大數和多項式快速相乘的基礎。誠實的注意點是：乾淨的乘積規則假定了變換存在、卷積積分收斂。