自由空間格林函數（free-space Green's function）
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在操心牆壁之前，先問這個問題最簡單的版本：一個點源如何在無限、空曠的介質中擴散它的影響？自由空間格林函數就是答案——算子在全空間（或全時空）上的格林函數，唯一的條件是場在遠處合理地衰減，而非匹配任何特定邊界。
它本質上就是基本解，但看作源點 s 與場點 x 的函數，並且關鍵地——當算子平移不變時——只依賴於它們的間隔 x - s。對三維的 -nabla^2，它是 G_free(x, s) = 1/(4 pi |x - s|)；在二維則是 G_free = -(1/(2 pi)) ln|x - s|；對熱算子，它是高斯核 (4 pi t)^{-n/2} exp(-|x - s|^2/(4 t))。由於只依賴 x - s，把它作用於源就是卷積：u(x) = G_free(x - s) f(s) ds 的積分，傅立葉變換把它變成簡單的乘法。
自由空間格林函數是邊值理論可複用的原子。要在有界或半空間區域中求解，你從 G_free 出發再加一個齊次修正——最乾淨的是通過鏡像法——使其和既滿足真實的邊界條件，又仍產生同一個點源。它也是幾何確實無界時直接出現的對象：天線向開放空間的輻射、波的散射、或孤立電荷分布的電勢。
自由空間中位於原點的點電荷 q 的電勢是 phi(x) = q/(4 pi epsilon_0 |x|)，它是 -nabla^2 的自由空間格林函數的 q/epsilon_0 倍。連續電荷密度 rho 給出 phi(x) = rho(s)/(4 pi epsilon_0 |x - s|) ds 的積分——點電勢的疊加。
庫侖勢就是拉普拉斯算子的自由空間格林函數，外加物理常數裝飾。
單憑自由空間格林函數解決不了有界問題——它滿足方程與點源，卻不滿足壁面條件。把它當作能直接解決是常見錯誤；你必須加上邊界所要求的齊次修正。