格林函數（Green's function）
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假設你有一個線性系統——一根繃緊的弦、一根加熱的桿、一片電場——而你想知道它對任意載荷會如何響應。格林的想法是先問一個更乾淨的問題：它對單個、無限集中地戳在一點的力會如何響應？答出這個，你就能把任意載荷拆成許多小塊，把對各小塊的響應加起來，從而構造出對該載荷的總響應。格林函數就是這個單點戳擊的響應，記作戳擊位置與觀測位置的函數。
確切地說，對於線性微分算子 L 與邊界條件，格林函數 G(x, s) 是滿足邊界條件的方程 L G(x, s) = delta(x - s) 的解，其中 delta 是狄拉克 delta——放在 s 處的單位點源。一旦有了 G，帶這些邊界條件的非齊次問題 L u = f 的解便是 u(x) = 區域上 G(x, s) f(s) ds 的積分。用語言說：把在 s 處的點響應按 s 處源 f 的強度加權，再疊加。格林函數實際上就是把算子求逆：u = L^{-1} f 是通過對 G 積分來實現的。
這把求解微分方程化成了做一個積分，而且一勞永逸——G 只依賴於算子與邊界，而不依賴於具體的 f。這正是格林函數在靜電學（點電荷的電勢）、量子力學（傳播子）、熱流、聲學、彈性力學中居於核心地位的原因。要注意的是：G 編碼了邊界條件，所以改變幾何形狀或邊界數據就會改變 G；自由空間格林函數（無邊界）是最簡單的基石，而鏡像法或本徵函數展開則把它改造到有界區域上。
對於 [0, 1] 上 L = -d^2/dx^2、邊界條件 u(0) = u(1) = 0，格林函數為：當 x < s 時 G(x, s) = x(1 - s)，當 x > s 時 G(x, s) = s(1 - x)。於是 u(x) = 從 0 到 1 的 G(x, s) f(s) ds 積分，對任意源 f 都解 -u'' = f, u(0) = u(1) = 0——一個公式，應付所有載荷。
這個分段公式關於 x 與 s 對稱——這是自伴算子的標誌（馬克士威-貝蒂互易性）。
格林函數僅當齊次邊值問題只有平凡解時才存在且唯一；若零是本徵值，則普通格林函數不存在，你必須使用受可解性條件約束的修正格林函數。