狄拉克 delta 函數（Dirac delta function）
/ dih-RAK /
你如何刻畫一個理想的瞬間——在零時間內傾盡全力的一記錘擊、沒有大小的質點、集中在單點的完美電荷火花？你想要某種在除一點之外處處為零、但總效果恰為 1 的東西。沒有普通函數能做到這一點，於是物理學家引入了一種新對象：狄拉克 delta，記作 delta(x)，那個理想化的無窮高、無窮窄、面積為單位 1 的尖峰。
誠實地說，delta(x) 根本不是函數——它是廣義函數，或稱分布。它的意義完全在於它如何在積分內部起作用：對所有 x 求 delta(x) f(x) dx 的積分 = f(0)，更一般地 對 delta(x 減 a) f(x) dx 的積分 = f(a)。這個篩選性質——delta 伸進去把 f 在某一點的值挑出來——就是它的完整定義。你可以把它想象成越來越窄、越來越高的鼓包（比如一個高瘦的高斯）的極限，每個都包圍面積 1，但嚴格的對象是由它對檢驗函數的作用定義的，而非任何逐點取值。它的形式導數表現為 對 delta 撇(x) f(x) dx 的積分 = 負 f 撇(0)。
delta 是工程中的單位衝激：把它輸入一個系統，輸出就是衝激響應，而衝激響應再通過卷積決定對任意輸入的響應。它是格林函數的點源、靜電學的點電荷、訊號處理中的完美採樣運算，以及構造熱、波和拉普拉斯方程基本解的標準右端項。亥維賽階躍函數是它的積分，而對一個跳躍間斷求導會產生一個 delta。
篩選實例：對所有 x 求 delta(x 減 3) 乘 x^2 dx 的積分 = 3^2 = 9——delta 恰在尖峰位置 x = 3 處求出 x^2 的值，忽略其餘一切。
delta 的全部職責就是在一點處採樣一個函數；在積分之外它沒有數值。
delta 是分布而非函數：像「delta(0) 為無窮」這樣的說法只是寬鬆的簡寫，唯有它在積分中對光滑檢驗函數的作用才是嚴格的。