亥維賽階躍函數（Heaviside step function）

你如何用一個符號寫下開關被撥動的那一刻——在某瞬間之前是關、此後永遠是開？亥維賽階躍函數正是這個理想化的開關：一個在負自變量為 0、正自變量為 1 的函數，在原點處從一個電平瞬間跳到另一個。

記作 H(x)（或 u(x)），定義為：x 小於 0 時 H(x) = 0，x 大於 0 時 H(x) = 1，跳躍點 x = 0 處的取值按約定選取（常取 1/2）。平移副本 H(x 減 a) 在 x = a 處開啟，所以像 H(x 減 a) 減 H(x 減 b) 這樣的組合，切出一個乾淨的矩形脈衝，只在 a 與 b 之間為 1——這是表達只在有限時間窗內作用的力、電壓或源的標準方式。儘管 H 有跳躍因而在普通意義下不可微，在分布的語言中它的導數是狄拉克 delta：H 撇(x) = delta(x)，刻畫了突然跳躍的瞬時速率是一個總量為單位的無窮尖峰這一思想。

階躍函數是開關現象的日常詞彙：它刻畫 t = 0 接通的電路、突然施加於梁的載荷、在固定時刻給的藥物劑量，或被驟然施加的邊界條件。它在拉普拉斯變換中不可或缺，其中第二平移定理用 H 來處理在較晚時刻才開始的輸入；它與狄拉克 delta 配對，作為廣義函數基礎處的積分-導數二人組。