拉普拉斯變換
變換方法中的赫維賽德階躍
/ HEV-ih-side /
工程裡幾乎每個有趣的輸入都是被開關切換的：電壓接通、閥門打開、力突然施加。赫維賽德階躍函數就是數學上的開關——它在某個選定時刻之前為 0、之後為 1——而在變換方法裡，它是組裝所有這類通斷、分段輸入的基本積木。
記作 u(t - a)，這個階躍在 t = a 處從 0 跳到 1。它的拉普拉斯變換是 L{u(t - a)} = e^{-a s}/s，而原點處的階躍 u(t) 變換為 1/s。真正的威力來自把階躍組合起來構造脈衝和階梯：在 t = a 與 t = b 之間為 1 的矩形脈衝是 u(t - a) - u(t - b)，任何分段函數都能寫成階躍乘以函數之和。變換這類組合要用第二平移定理，其延遲因子 e^{-a s} 恰是階躍開啟時刻的變換。
正是這一點，讓拉普拉斯方法在處理分段強迫時比經典技巧乾淨得多。你不必在每個區間上分別解微分方程、再在斷點處費力地匹配值，而是把整個強迫函數編碼成一個用階躍寫的表達式，變換一次、求解一次、求逆一次。物理解的連續性由代數自動處理，因為階躍把切換信息原封不動地帶過了變換。
僅在 t = 1 與 t = 3 之間施加的單位力是 u(t - 1) - u(t - 3)，其變換為 e^{-s}/s - e^{-3 s}/s。
兩個階躍相減得到矩形脈衝；兩個延遲因子把開啟和關閉時刻帶入 s 域。
階躍在 t = a 處的取值是約定問題（常取 1/2），且從不影響拉普拉斯變換，因為在單點改變函數值無法改變它的積分。
又稱
另見