變換方法中的狄拉克 delta

有些輸入不是開關而是猛擊：錘擊、電荷的火花、碰撞——全部集中在一個瞬間。狄拉克 delta 就是這種衝激的理想化模型：一個持續時間為零、總強度為一的輸入，無限高、無限窄，卻圍出面積一。在變換方法裡，它是建模突然、瞬時推力的最乾淨方式。

其定義性質是篩選性質：delta(t - a) g(t) 對 t 的積分 = g(a)。它挑出任意函數在點 a 處的值。它的拉普拉斯變換隨之立得：L{delta(t - a)} = e^{-a s}，而原點處的 delta 變換為常數 1。整個輸入竟變換成簡單的常數 1，這正是衝激成為天然測試信號的原因——給系統輸入 1，它的輸出就是衝激響應，即傳遞函數的逆變換。

這裡關鍵的誠實之處是：狄拉克 delta 根本不是一個函數。沒有哪個普通函數能在除一點外處處為零、卻積分得一。它是一個分布（廣義函數），由它在積分中作用於測試函數的方式來定義，嚴格說來是越來越高、越來越窄的隆起的極限。把它當成真正的函數會導致荒謬；把它當成分布則使一切——包括它的變換 e^{-a s}、以及它作為赫維賽德階躍之導數的角色——都完全自洽。