拉普拉斯變換
衝激響應
把一口鐘猛地敲一下，聽：那迴盪又漸隱的聲音是這口鐘的簽名，它告訴你這口鐘將如何對任何聲音作出響應。衝激響應正是把這個想法精確化——一個線性系統在輸入為單個單位衝激（一個狄拉克 delta）、且系統初始靜止時的輸出。
記作 h(t)，衝激響應是傳遞函數 H(s) 的拉普拉斯逆變換：你在強迫項為 delta(t)、初始條件為零的情況下解系統方程，h(t) 就是答案。由於狄拉克 delta 變換為 1，s 域輸出不過是 H(s) 乘以 1，所以 h(t) 與 H(s) 是一對變換。衝激響應是線性時不變系統的完整指紋：由它你能預測對任何輸入的響應。
那個預測正是卷積定理的實際運用。對任意輸入 x(t)，輸出是卷積 y(t) = 從 0 到 t 的 h(tau) x(t - tau) d tau——你把輸入看成一列密集的、被縮放並延遲的衝激，再把系統對每個的回聲疊加。這正是為什麼衝激響應是線性系統分析的核心對象，是傳遞函數在時域裡的孿生，也是為什麼一次猛烈的測試就能告訴你全部故事。
對系統 y'' + 2 y' + 5 y = x(t)，傳遞函數是 H(s) = 1/(s^2 + 2 s + 5)，故衝激響應是 h(t) = e^{-t} sin(2 t)/2——一段阻尼的迴盪。
對傳遞函數求逆得到一段衰減振盪——正是鐘的類比對阻尼二階系統所預言的。
衝激響應這套描述只對線性、時不變、且初始靜止的系統才精確；對非線性系統不存在能預測每種響應的單個 h(t)，因為輸出不按疊加原理相加。
又稱
另見