卷積定理

在 s 域裡乘法很容易，但回到時間它意味著某種微妙的東西。卷積定理回答這樣的問題：如果你把兩個變換相乘，乘積對應於什麼時間函數？答案不是兩個時間函數的乘積——而是它們的卷積，一種把一個函數的過去摻進另一個的混合運算。

f 與 g 的卷積寫作 (f * g)(t) = 從 0 到 t 的 f(tau) g(t - tau) d tau：你把 g 翻轉、平移，再累加重疊部分。定理斷言 L{f * g} = F(s) G(s)。於是 s 域裡的乘積就是時間裡的卷積，反過來，乘積 F(s) G(s) 的逆變換就是兩個逆變換的卷積。當你能分別認出每個因子、卻在任何表裡都找不到那個乘積時，這正是讓你求逆的辦法。

從物理上看，卷積積分正是一個線性時不變系統對任意輸入的響應方式：你把輸入看成一串連續的衝激，用系統的衝激響應給每個加權，再把這些回聲疊加起來。這正是 (輸入 * 衝激響應) 的含義。因此卷積定理是 s 域裡傳遞函數（一個簡單的乘積 H(s) X(s)）與時域疊加積分之間的橋樑——同一個事實披著兩件外衣。