拉普拉斯變換
拉普拉斯逆變換
一旦你解完代數、手裡握著 s 域中的一個函數 F(s)，你還需要回到時間。拉普拉斯逆變換就是從變換 F(s) 還原出原函數 f(t) 的運算——那趟把代數答案變回真實時間函數的返程。
在日常實踐中，你幾乎從不按其真正的積分定義去算它。取而代之的是倒著讀變換表，但要先把 F(s) 拆成可識別的塊。標準工具是部分分式分解：把有理的 F(s) 拆成 A/(s - a)、B/(s^2 + omega^2)、(C s + D)/((s - a)^2 + omega^2) 這樣的簡單分式，每一塊都是已知的表項。再靠線性逐項求逆。平移定理負責處理被平移和被指數加窗的塊。對連續函數而言逆變換是良定的：兩個有相同變換的連續函數必相等（萊爾赫定理），所以你找到的答案就是答案。
表的背後是真正的定義——布羅姆維奇圍道積分，即沿收斂域內一條豎直線的複線積分——對那些非有理的變換，複分析中的留數定理可直接求值。但對主導應用的常係數問題，部分分式加上查表就能包辦全部工作，這正是為什麼逆變換這一步幾乎從不讓人覺得是在做複分析。
對 (s + 3)/(s^2 + 2 s + 5) 求逆：配方為 (s + 1)^2 + 4，把 s + 3 寫成 (s + 1) + 2，讀出 e^{-t}(cos 2 t + sin 2 t)。
配方法加第一平移定理，把一個晦澀的有理函數變成了一個阻尼正弦。
唯一性只在「相差一個零測集」的意義下成立：兩個函數除了在孤立點處都相等，便共享同一變換，所以逆變換是在連續函數中唯一，而非對每個函數都字面唯一。
又稱
另見