布羅姆維奇積分

倒著讀變換表很方便，但那不是定義——那是識別。布羅姆維奇積分是拉普拉斯逆變換誠實而構造性的定義：一個單一的積分公式，對任意變換（而不只是恰好出現在表裡的那些）從 F(s) 還原出 f(t)。

公式是複平面上的一個圍道積分：f(t) = (1/(2 pi i)) 沿豎直線 Re s = c 的 e^{s t} F(s) ds 的積分，其中這條線——布羅姆維奇圍道——是一條放在 F(s) 所有奇點右側的豎直線，也就是在收斂域之內。你沿這條線從 c - i 無窮積到 c + i 無窮。這正是拉普拉斯定義積分的精確逆，有時也稱傅立葉-梅林（Fourier-Mellin）或梅林反演公式。

實踐中你很少真的沿這條線直接積分。取而代之，你用一段向左的大圓弧把圍道閉合，再用留數定理：積分等於 e^{s t} F(s) 在該線左側 F(s) 所有極點處留數之和。每個位於 s = a 的簡單極點貢獻一項正比於 e^{a t} 的項，這正是為什麼有理 F(s) 的逆變換是指數之和——部分分式不過是喬裝的留數。布羅姆維奇積分是從工程師的表通向真正複分析的橋樑，也是它讓逆變換即便在沒有合適表項時仍然良定。