留數定理（residue theorem）
假設你的圍道繞住了好幾個函數發散的點。每個奇點都留下一個數——它的留數——記錄它對迴路積分貢獻多少，而函數的其餘一切都無關緊要。留數定理說，整個圍道積分不過是這些留數之和，乘以 2 pi i。它把積分坍縮成一樁記帳：找出被困的奇點，把它們的留數加總，再相乘。
精確陳述：若 f 在正向閉圍道 C 上及其內部除內部若干孤立奇點外解析，則 f(z) dz 沿 C 的積分等於 2 pi i 乘以 f 在那些內部奇點處留數之和。某點的留數是該處洛朗級數中 1/(z - a) 的係數 c_{-1}——唯一其迴路積分存活的項。對單極點有捷徑：留數等於 z 趨於 a 時 (z - a) f(z) 的極限。對 m 階極點，則把 (z - a)^m f(z) 求導共 m - 1 次再取極限。該定理把柯西定理（無奇點，故為零）與柯西公式（一個單極點）統一在一個屋簷下。
這是應用複分析的動力艙。它求那些沒有初等原函數的定積分，把無窮級數化為 cot(pi z) 或 csc(pi z) 的留數和來求和，反演拉普拉斯與傅立葉變換，並算出積分的漸近行為。它之所以感覺像魔法，在於其經濟：一條曲線上的整個積分，由屈指可數的幾個局部數字決定——每個奇點一個，各自可由一段簡短的洛朗展開算出。
把 f(z) = 1/(z^2 + 1) 沿一個圈住極點 z = i 與 z = -i 的大圓積分。在 z = i 處留數為 (z - i)/((z - i)(z + i)) = 1/(z + i) = 1/(2i) 的極限；在 z = -i 處為 1/(-2i)。兩個留數之和為零，故迴路積分為 2 pi i 乘 0 = 0——貢獻恰好抵消。
把所圍極點的留數加總再乘 2 pi i——整個積分三步搞定。
只有嚴格落在圍道內部的奇點才計入，且必須用正確的定向（逆時針為正）。把單極點的捷徑套用於高階極點會給出錯誤留數；定理對恰好落在圍道上的奇點也無可奉告——那種情形需用主值或繞道圍道來處理。