第一平移定理

你想變換的函數常常是某個基本函數被一個衰減指數乘上後的「盛裝」版本——想想逐漸消失的振動 e^{-t} sin(omega t)。第一平移定理告訴你，你不需要為這個盛裝版本添新的表項：取那個樸素函數的變換，然後沿 s 軸把它平移一下就行。

確切地說：若 L{f(t)} = F(s)，則 L{e^{a t} f(t)} = F(s - a)。在時域裡把 f(t) 乘以 e^{a t}，對應在變換裡把 s 換成 s - a——也就是 s 變數的一次水平平移。這正是它又叫 s 域平移或頻移的原因。例如，由 L{cos(omega t)} = s/(s^2 + omega^2)，定理立刻給出 L{e^{a t} cos(omega t)} = (s - a)/((s - a)^2 + omega^2)，只需在原來出現 s 的地方寫成 s - a。

在應用中，這條定理正是阻尼振盪如此好處理的原因。衰減率 a 把變換的極點從虛軸上移開，而反過來讀這條規則是標準的逆變換手法：當部分分式給你留下像 1/((s - a)^2 + omega^2) 這樣的項時，你認出這次平移，便還原出 e^{a t} sin(omega t)/omega。它與配方法搭配使用——後者正是你在二次分母裡識破隱藏的 s - a 的方法。