拉普拉斯變換的尺度變換性質

假設你把一個過程跑得更快或更慢——你撥快時鐘，把同樣的行為壓縮進更短的時間裡。尺度變換性質準確告訴你這種時間重標在變換裡如何體現：拉伸或壓縮時間軸，會以相反的方式拉伸或壓縮 s 軸，並重標高度以使賬目平衡。

規則是：若 L{f(t)} = F(s)，則對正常數 a，L{f(a t)} = (1/a) F(s/a)。把 t 換成 a t（過程快 a 倍）就把變換裡的 s 換成 s/a，並乘以 1/a。那個 1/a 因子來自定義積分內部的變數替換：代入 u = a t 把微元縮小為原來的 1/a。時間與 s 變數之間這種倒數關係，就是你在每種變換裡都會遇到的同一種反向標度：時間上越快，頻率上越鋪開。

這條性質用得不如平移定理那麼多，但它在概念上很重要，也實實在在地省力：一旦你知道一族中的一個變換，就能免費得到整族經尺度變換後的成員，無需重新積分。它也支撐著量綱推理——在改變時間尺度時核對變換的單位是否自洽——而它正是更著名的傅立葉尺度變換的拉普拉斯表親，那裡同樣的「時間上壓縮、頻率上拉伸」的權衡支配著信號的帶寬。