拉普拉斯變換對照表

沒有人每次用拉普拉斯變換都重新推導同樣的積分。取而代之的是一張簡短的表——一本兩欄的字典，左邊列出常見的時間函數 f(t)，右邊是它們的變換 F(s)。你只需查出所需的那一項，就像你當年記住 sin 的導數是 cos 一樣。

核心條目值得爛熟於心：1 對應 1/s；t 對應 1/s^2，更一般地 t^n 對應 n!/s^{n+1}；e^{a t} 對應 1/(s - a)；sin(omega t) 對應 omega/(s^2 + omega^2)，cos(omega t) 對應 s/(s^2 + omega^2)。雙曲版本 sinh 與 cosh 給出 omega/(s^2 - omega^2) 與 s/(s^2 - omega^2)。這張表兩個方向都要讀：從左到右是正變換，從右到左是逆變換，那正是你收尾一次拉普拉斯方法計算的方式。整張表由少數幾對基本變換加上結構性規則生成。

一張小表之所以如此強大，是因為你幾乎從不單獨使用它。結合線性與平移定理，少數幾個條目就能覆蓋極大的範圍：第一平移定理把 e^{a t} 這一條免費地變成 e^{a t} cos(omega t) 與 e^{a t} sin(omega t) 的變換，而經過部分分式分解後，任何有理的 F(s) 都不過是這些標準塊的和。這張表是每一道逆變換題的終點。