部分分式分解（partial fraction decomposition）

像 (3x + 5) / (x^2 - x - 2) 這樣的多項式之比，作為一整塊來積分看著很難。部分分式分解的技巧，是把它拆回若干更簡單的部分之和——這些分式的分母是原分母的基本因子——而每一塊你早就會積了。它正是「通分相加」的逆操作，也是讓每個有理函數都能用初等方式積出來的主力工具。

做法是：先確保分子次數低於分母（若不是，先做多項式長除法，把多項式部分放到一邊）。把分母分解成一次因子和不可約二次因子。然後每個因子寫一項：一次因子 (x - a) 貢獻 A / (x - a)；重根因子 (x - a)^2 貢獻 A / (x - a) 加 B / (x - a)^2；不可約二次因子 (x^2 + bx + c) 貢獻 (Bx + C) / (x^2 + bx + c)。你通過去分母後比較係數，或代入方便的 x 值，解出待定常數 A、B、C。得到的每一塊都積成對數、反正切或冪函數。

這就是有理函數從不需要任何奇異東西的原因——結果總是對數、反正切和有理項的組合，所以有理函數總有初等原函數。它也是拉普拉斯逆變換的基礎：你把傳遞函數拆成部分分式，逐項讀出時域響應。初學者唯一容易栽跟頭的地方，是忘了重根因子要為直到其重數的每個冪次都寫一項，以及不可約二次因子的分子是一次式而不只是常數。