有理函數的積分（integration of rational functions）

有理函數是兩個多項式之比，P(x)/Q(x)。整個積分學裡最乾淨的事實之一是：每個這樣的函數都能用初等函數以閉式積出——永遠沒有意外，沒有非初等的障礙。這是一套完整、了結的理論：給定任何有理函數，都有一個保證成功、機械的程序。

這個程序是三步流水線。第一，若分子次數不低於分母，做多項式長除法，剝出一個多項式（積分平凡）加一個真分式餘項。第二，把分母在實數上分解為一次因子 (x - a) 和不可約二次因子 (x^2 + bx + c)，並把真分式分解成部分分式。第三，逐塊積分：A/(x - a) 項給出 A ln|x - a|；重根因子給出冪函數；不可約二次因子給出一個對數（來自與分母導數相配的部分）加一個反正切（來自配方後剩下的常數）。這就是答案的全部字母表：多項式、對數和反正切。

這就是有理函數成為積分中安全、堅實的地基，並成為眾多其他技巧天然歸宿的原因——經魏爾斯特拉斯換元來的三角積分，以及經巧妙換元來的許多代數根式積分，全都匯入有理函數，正因為我們知道有理函數總能做完。同一套部分分式機制也讓拉普拉斯逆變換變得可處理。唯一誠實的提醒是實踐上而非理論上的：這個保證假定你能把分母分解，而對高次多項式，實因式分解可能只有數值上才能得到。