傅立葉變換的伸縮性質

把一段錄音用兩倍速播放，音高就跳高一個八度；用半速播放，音高就降下來。把信號在時間上壓縮，就在頻率上拉伸；在時間上拉伸，就在頻率上壓縮。伸縮性質正是這種互易交換的精確表述：一個函數有多鋪展，與它的頻譜有多鋪展，互為反比。

定量地說，若 f(x) 的變換是 F(k)，則縮放後的函數 f(a x) 的變換是 (1/|a|) F(k/a)。兩件事同時發生。自變量 k/a 意味著頻譜被拉伸了 a 倍（所以把 f 壓縮——取大的 a——就把 F 加寬），而前因子 1/|a| 重新調節高度，使總面積或能量記賬正確。絕對值處理 a < 0 的情形，那同時也把函數翻轉。沒有辦法讓一個信號在時間和頻率上同時變窄：縮小一個必然加寬另一個，這是規律，不是任何特定方法的局限。

伸縮性質解釋了為什麼短脈衝需要寬帶寬，而一條窄譜線需要長時間的觀測。它支配著光譜儀的分辨率、通信信道的帶寬，以及透鏡的衍射極限光斑（小孔徑把光鋪展到大角度上）。再加上高斯函數是它自己的變換這一事實，伸縮性質就是傅立葉不確定性原理的一個面孔：信號的時間展寬與頻率展寬之積無法被做得任意小。