傅立葉變換的平移性質

假設你把同一段聲音錄了兩遍，第二遍延遲了一會兒。兩段錄音含有相同的頻率，且每個頻率上的響度也相同；唯一的區別是時刻。平移性質恰好刻畫了這一點：把信號在時間上延遲或提前，並不改變它含有多少每種頻率，只改變這些頻率的相位——也就是對齊方式。

寫成公式：若 f(x) 的傅立葉變換是 F(k)，則平移後的函數 f(x minus a) 的變換是 e^{-i k a} F(k)。模沒有被動到，因為 |e^{-i k a}| = 1，所以振幅譜 |F(k)| 完全相同；平移插入的是一個與頻率有關的相位因子 e^{-i k a}，它把每個頻率旋轉一個正比於 k 的量。還有一條鏡像規則（即調制性質）：把 f(x) 乘以 e^{i a x} 會把變換平移到 F(k minus a)。一句話，一個域中的平移就是另一個域中的相位扭轉——而扭轉往哪個方向走，遵循 x 與 k 之間的對偶性。

這條規則是日常工具。它解釋了為什麼純時間延遲在系統中表現為隨頻率線性變化的相位和平坦的幅度，那正是理想延遲線的標誌。它讓你能通過變換一個居中的版本再乘以一個相位，去變換圍繞任意一點定義的函數；它還與卷積定理配合，處理那些既延遲又塑形信號的濾波器。要記住的是這種用力的不對稱：一個在原始域中可能很彆扭的平移，在變換域中變成乘以一個相位的乾淨運算。