傅立葉變換的對偶性

傅立葉正變換與逆變換的積分看起來幾乎一樣——它們只在指數的符號和一個常數上不同。這種近乎對稱帶來一個強大的回報：你知道的每一對變換都可以倒過來讀，免費給你第二對。這個鏡像把戲就是對偶性，它大致把你背下來的任何一張變換表的規模翻了一倍。

具體地說，設 f(x) 的傅立葉變換是 F(k)。對偶性說：如果你現在把函數 F（當作變量 x 的函數）送進變換，你會拿回原來的 f，只是經過翻轉和縮放：F(x) 的變換是 2 pi f(minus k)（確切的常數和翻轉取決於約定）。理由從公式裡一目了然：交換 x 與 k 的角色，就把正變換積分變成了逆變換積分。所以矩形脈衝到 sinc 這一對立刻送給你 sinc 到矩形那一對；而高斯函數，因為是它自己的變換，正是對偶性平凡作用的不動點。

對偶性不只是省力的裝置；它是時間域與頻率域平起平坐、沒有偏好方向的結構性原因。每條定理都成對出現：時間上的平移鏡像著頻率上的調制，一個域中的求導鏡像著另一個域中乘以變量，一個域中的卷積鏡像著另一個域中的普通乘法。把變換學透，就意味著學會把任何一條陳述通過這種對稱翻過來，認出它的孿生兄弟。