狄拉克 delta 的傅立葉變換
/ dee-RAHK /
把鼓很尖銳地敲一下——一個理想化的瞬時衝擊。要容納這樣一個突然的尖峰，信號必須由每一個頻率同時構成，而且全都同步。狄拉克 delta 的傅立葉變換把這一點說精確了：一個無限集中的衝激，其變換是一個完全平坦的頻譜，每個頻率都一樣多。時間上最尖銳的東西，正是頻率上最寬展的東西。
狄拉克 delta，即 delta(x)，不是普通函數——它是一個分布，由它的篩選作用定義：integral of delta(x) g(x) dx = g(0)。把它送進變換積分並用篩選性，得到 FT{delta}(k) = integral of delta(x) e^{-i k x} dx = e^{0} = 1，一個常數。由對偶性（與反演），反過來也成立：常數 1 的變換是 2 pi delta(k)。平移後的衝激 delta(x minus a) 變換為 e^{-i k a}（純相位，平坦的模），而純波 e^{i a x} 的變換是 2 pi delta(k minus a)——在波的頻率處一根單獨的譜峰。正是這最後一對，才讓一個經典意義下積分不收斂的正弦也能有傅立葉變換。
這些變換對是傅立葉級數的離散世界與傅立葉變換的連續世界之間的結締組織。因為一個週期信號是一串純波之和，它的傅立葉變換就是一列 delta——原先那些離散譜線的連續譜圖像。delta 還是卷積的單位元（任何東西與 delta 卷積都原樣返回），這正是它代表一個理想的、無失真信道的原因。永遠不要忘的一點：delta 是一個分布，是作用於測試函數的一條規則，而不是在每個點上有一個值的函數；只有在那個分布的框架內，把它的變換當作普通積分來處理才說得通。
由於 e^{i a x} 的變換是 2 pi delta(k minus a)，又 cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2，所以 cos(a x) 的變換是 pi[delta(k minus a) + delta(k plus a)]——在正負頻率 a 處的兩根尖峰，這就是一個純音的頻譜。
一個純音有一個雙尖峰的 delta 頻譜——這正是從傅立葉級數的譜線通向連續變換的精確橋樑。
delta 是一個分布，不是函數——它沒有逐點的值，而它的變換是一個常數，只有當作它在積分內如何作用於測試函數的陳述時，才有嚴格意義。