採樣與奈奎斯特準則

每一段數字錄音都是一個奏效的騙局：麥克風產生一段光滑、連續的電壓，但計算機只能存儲一串有限的數。採樣就是在等間隔的時刻測量那段連續信號、只保留這些讀數的行為。令人驚訝的事實是：在恰當的條件下，那些離散的點包含了一切——原來那條光滑曲線能從它們中毫無損失地重建出來。奈奎斯特準則正是那個條件。

奈奎斯特-香農定理說：如果一個信號不含任何高於某個最高頻率 B 的頻率（即它是帶限的），那麼以每秒大於 2B 個樣本的速率對它採樣就能完美地捕獲它，而且原信號能通過用 sinc 函數插值來重建。門檻速率 2B 是奈奎斯特速率；採樣率的一半是奈奎斯特頻率，即給定速率所能表示的最高頻率。傅立葉圖像解釋了緣由：時間上的採樣把信號乘以一列 delta，這在頻率上把頻譜與一列 delta 卷積，產生頻譜的無窮多個平移副本。如果這些副本不重疊（即奈奎斯特條件），一個低通濾波器就能切出一份乾淨的副本，精確地恢復信號。

採樣太慢，譜的副本就會重疊；高頻折疊下來、冒充低頻，造成一種不可逆的破壞，叫混疊——這正是電影裡飛轉的輪子看起來倒轉的原因，也是錄音要在數字化之前加一個抗混疊濾波器、扔掉高於奈奎斯特極限的頻率的原因。這條定理是一切數字音頻、成像和儀器測量的基礎。誠實的小字註腳：完美重建假定信號嚴格帶限、且採用理想的 sinc 插值，二者都無法完全實現，所以實際系統會以遠高於 2B 的速率採樣，並接受微小的、可控的誤差。