用拉普拉斯變換求解初值問題

這是整門學問的回報——一套三步配方，求解線性常係數初值問題，全程既不必猜測解的形式，也不必在最後去配常數。你把問題變換過去，解一段代數，再變換回來。

第一步：對整個微分方程取拉普拉斯變換，用導數規則把每個 y'、y'' 變成 s 的冪次乘以 Y(s)，並自動插入初值 f(0)、f'(0)。微分方程就變成關於 Y(s) 的代數方程。第二步：解這個代數方程求 Y(s)——純代數，只是移項。第三步：求逆，通常用部分分式，倒著讀表以還原 y(t)。因為初始條件在第一步就進來了，答案已經滿足它們；不存在另行確定任意常數的環節。

該方法的適用範圍恰是線性常係數情形（單個方程或方程組），其巨大優勢在於能統一處理那些讓經典方法束手無策的強迫項：經由赫維賽德階躍的間斷輸入、經由狄拉克 delta 的衝激輸入、以及共振強迫，都流經同一套機器。它誠實的局限在於：對變係數或非線性方程它幫不上忙——那裡乘積的變換並不是變換的乘積，代數就崩了。