初值問題（initial-value problem）

光有一個微分方程，就像有運動定律卻沒有出發點：它說出事物如何變化，卻沒說從哪裡開始。初值問題補上了這個缺失的起點。它是方程，外加一個把解在某一特定瞬間的值固定下來的條件——不僅回答「它如何演化？」，還回答「它從哪裡出發？」。

具體而言，一階初值問題是 dy/dx = f(x, y) 這個方程，配上初始條件 y(x_0) = y_0。方程本身有充滿平面的一整族解曲線；初始條件挑出那條穿過指定點 (x_0, y_0) 的唯一曲線。這正是一階方程所需的那一個額外事實（因為它的階是一），把帶一個自由常數的解族變成一個確定的特解。「初值」之名來自典型的物理設定：x 是時間，y_0 是 x_0 時刻的狀態——但在數學上它只意味著「在單個點上施加的條件」。

初值問題是應用數學的日常貨幣：從已知高度以已知速度發射的拋體、合閘時帶已知電荷的電路、某一年的人口普查。關鍵在於，一個初值問題是否有解、是否唯一，並非理所當然——這恰是皮卡-林德洛夫存在唯一性定理要回答的問題。歐拉法等數值求解器也正是為從已知起點把初值問題向前推進而設計的。