皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf theorem）
/ pee-KAR LIN-deh-loff /
在你花一個下午去解初值問題之前，值得先知道解是否存在——以及是否唯一。皮卡-林德洛夫定理正是回答這兩點的實用保證。在合理條件下，它擔保初值問題 dy/dx = f(x, y)、y(x_0) = y_0 恰有一個解，至少在起點附近的一小段範圍內成立。
條件溫和且可檢驗。若 f(x, y) 在 (x_0, y_0) 周圍的矩形內連續，並在那裡關於 y 滿足利普希茨條件——大致是說 f 沿 y 方向變化不太陡，|f(x, y_1) - f(x, y_2)| 至多為某常數 L 乘 |y_1 - y_2|（f 對 y 的偏導有界是常用的簡便檢驗）——則在包含 x_0 的某個區間上存在唯一解。證明既構造又優美：用皮卡迭代造出一列越來越好的近似（先取常數 y_0，然後反覆把下一個函數設為 y_0 加上 f 沿當前猜測的積分），利普希茨條件迫使這列收斂到那個唯一的真解。
兩條誠實的局限必須與這條定理同行。其一，它是局部的：只承諾在 x_0 附近某區間上有解，而非對一切 x——解可能在有限時間內爆破到無窮（初值問題 dy/dx = y^2、y(0) = 1 的解是 1/(1-x)，在 x = 1 處逃逸）。其二，當利普希茨條件失效時，唯一性可能真的破裂：dy/dx = sqrt(y) 配 y(0) = 0 同時有 y = 0 和 y = x^2/4 兩個解。這條定理恰在其假設成立處是保證——在假設不成立處則是警示，而那正是奇解棲身之地。
對 dy/dx = sqrt(y) 配 y(0) = 0，右邊 sqrt(y) 在 y = 0 處連續但不滿足利普希茨條件（那裡斜率無窮）。唯一性失效：y = 0 與 y = x^2/4 都滿足該初值問題。這正是定理所警示的失效情形。
失去利普希茨條件，就可能失去唯一性——過一點有兩個解。
僅有 f 的連續性（皮亞諾定理）只換來存在性，換不來唯一性。唯一性專門需要更強的利普希茨條件。把二者混為一談——以為任何連續方程都有唯一解——是一個常見且後果嚴重的錯誤。