微分方程的階（order）

第一卷提到過「微分方程」這個詞——一個把未知函數和它自身的導數聯繫起來的方程——然後基本上就放下不管了。對任何這樣的方程，要問的頭一個問題是：求導到底走了幾層深？這個層數就是階。它是微分方程身上最重要的一個標籤，正如「二次」是二次方程最醒目的事實。

確切地說，階是方程中出現的最高階導數的次數。方程 dy/dx = x*y 是一階的，因為 dy/dx 是最高的了。方程 d^2y/dx^2 + omega^2 y = 0（簡諧振子）是二階的，因為有二階導數。含 d^3y/dx^3 的方程是三階的，哪怕裡面也出現一階導數——只看最高的那一個。本領域研究的全是一階方程：可寫成 dy/dx = f(x, y) 的、只深一層導數的方程。

階之所以重要，是因為它預告了解所攜帶的自由度有多少。一階方程需要一個額外條件才能定出唯一解（比如 y 在某一點的值）；n 階方程需要 n 個。這就是為什麼一階初值問題在某一瞬間固定 y，而二階問題——一個振動的質點——既需要初始位置又需要初始速度。階是一種記帳法，告訴你要追多少個積分常數。