微分方程的次數（degree）

階告訴你求導有多深；次數是它的搭檔標籤，告訴你最高階導數以多麼非線性的方式進入方程。若說階是一棟樓蓋到第幾層，次數大致就是頂層是什麼形狀。兩者合起來正是描述一個方程的經典開場白：「一階一次」之類。

次數只有在方程被清除掉導數的分數冪和無理冪之後才有定義——即寫成關於各導數的多項式形式。這時次數就是最高階導數被升到的冪次。於是 dy/dx = x + y 是一次的；(dy/dx)^2 + y = 0 是二次的；而 d^2y/dx^2 + (dy/dx)^3 = x 是一次的（最高階導數即二階導數是一次冪——那個立方在更低階的導數上，不算）。若方程根本無法寫成這樣的多項式——比如 dy/dx = sin(dy/dx)，或導數被裝進了一個非多項式函數裡——則次數無定義。

實踐中，次數遠不如階那麼吃重，做分析的人很少用得到它。它主要用於乾淨的分類，以及一個誠實的事實：一個對所有導數都是一次的方程，唯有當係數不含 y 時才恰好是線性方程。一次是線性的必要而非充分條件——這正是為什麼「線性與非線性」被當作一個獨立的、更有用的區分來對待。