克萊羅方程（Clairaut equation）

克萊羅方程是看奇解憑空冒出來的最乾淨的地方，它有一種奇特的自指模樣：函數用它自己的導數來表達。它是教科書式的例子——通解是一族直線，可偏偏還有一個額外的、彎曲的解，族中沒有任何一條直線等於它——那條它們全都貼合的包絡。

它的形式是 y = x*(dy/dx) + g(dy/dx)——未知 y 等於 x 乘以它的斜率 p = dy/dx，再加上同一斜率的某個函數 g。求解方法是對整個方程關於 x 求導。消去後剩下一個等於零的乘積，分成兩種情況。第一種令 dy/dx 等於一個常數；回代得通解 y = C*x + g(C)，一族單參數直線（每個斜率 C 對應一條直線）。第二種正是給出奇解的那個：它迫使一個關係，與原方程聯立後描出所有這些直線的包絡——一條與每條直線相切、卻不屬於任何一條的單一曲線。

克萊羅方程作為求解配方的意義較小，作為兩個誠實微妙之處的典範例證則意義更大：「通解」未必包含每一個解，以及存在唯一性定理的保證恰恰在包絡上失效——那裡利普希茨條件不成立。它在幾何與光學中也確實出現——光線的包絡（焦散）和直線族的包絡都來自克萊羅型關係。它是「求解的代數」與「包絡的幾何」之間的橋樑。