導數的變換

正是這一條規則，構成了拉普拉斯變換能解微分方程的全部理由。它告訴你在時域裡求導時變換會發生什麼——答案是求導幾乎變成了乘以 s，而這正是把一個微積分問題壓平成代數問題的關鍵。

一階導數規則是 L{f'(t)} = s F(s) - f(0)。每求一次導，就多得到一個 s 因子並減去一個初值：對二階導數，L{f''(t)} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)。這個模式對更高階繼續成立，始終帶著初值 f(0)、f'(0) 等等。關鍵在於，初始條件被自動地融進了變換——你絕不需要把它們當作積分常數另行求解。這正是該方法極大的便利之處。

當你把它用到像 y'' + 3 y' + 2 y = g(t) 這樣的線性常係數方程時，每個導數都被換成 s 的冪次乘以 Y(s) 再減去相應初值，於是微分方程變成關於 Y(s) 的一個代數方程。你用普通代數解出 Y(s)，然後求逆。初值 f(0) 和 f'(0) 不是可有可無的裝飾——它們正是使答案滿足初值問題的那些量，丟掉它們是整個方法裡最具破壞性的錯誤。