積分的變換

如果在時域裡求導是把變換乘以 s，那麼在時域裡積分就該做相反的事——確實如此。這條規則是導數規則的鏡像，它讓你能處理累積量：流過的總電荷、總位移，任何由對某個速率積分而累積起來的東西。

其陳述是：若 L{f(t)} = F(s)，則 L{ 從 0 到 t 的 f(tau) d tau } = F(s)/s。在時域裡從 0 到 t 積分，對應在變換裡除以 s。原因恰是導數規則反過來用：累積積分 g(t) 滿足 g'(t) = f(t) 且 g(0) = 0，所以 s G(s) - 0 = F(s)，給出 G(s) = F(s)/s。每多積分一次，就再除以一個 s。

在電路分析中，這是處理電容的變換——電容電壓是電流的積分；在力學中，它處理作為速度積分的位置。它也解釋了為什麼階躍函數 1/s 與斜坡 1/s^2 恰好相差一個 s 因子：對常數 1 積分得到斜坡 t，而把 1/s 除以 s 得到 1/s^2。除以 s（積分）與乘以 s（求導）之間這種乾淨的對稱，是整套變換演算的代數核心。