基本解（fundamental solution）

如果說格林函數是有邊界系統的響應，那麼基本解就是同一個算子在完全沒有邊界時的響應——微分算子對置於無界空間（或無界時空）中單個點源的赤裸答案。它是最純粹的基石：一個無限、無特徵的介質被戳一次時會做什麼。

確切地說，線性算子 L（設為常係數）的基本解是任何滿足全空間方程 L E = delta、且不施加任何邊界條件的分布 E。對三維拉普拉斯算子 L = -nabla^2，基本解是 E = 1/(4 pi r)，即單位點電荷熟悉的庫侖勢；在二維則是 -(1/(2 pi)) ln r。對熱算子，它是隨時間擴散的高斯熱核；對波算子，它是編碼惠更斯原理的膨脹球殼。由於沒有邊界來定住它，基本解僅在相差一個齊次方程解 L v = 0 的意義下唯一。

基本解是線性偏微分方程理論的萬能鑰匙。有界區域的完整格林函數，是取基本解再加以修正而建成的——用鏡像法，或加上一個齊次解——使其滿足邊界條件。它們還給出存在性：把基本解與任何合理的源 f 卷積，就產生 L u = f 的一個特解 u = E * f。在物理中，它們就是把影響從時空一點帶到處處的傳播子（熱、薛定諤、波）。