邊值問題（boundary-value problem）

想像一根兩端都被固定的吉他弦。沒人告訴你它一開始怎麼動；只告訴你兩端必須停在哪裡，而你想知道它在中間會取什麼形狀。這就是邊值問題的味道：微分方程在某個區域內部成立，而條件是加在邊界上的——區間的兩端，或二維、三維區域整圈邊緣——而不是全部加在同一個起始時刻。

具體來說，對於區間 [a, b] 上的二階常微分方程，如 y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)，邊值問題在兩個端點都給定數據，例如 y(a) = A 與 y(b) = B（狄利克雷型），或給定斜率的條件（諾伊曼型），或兩者混合（羅賓型）。這與初值問題不同：初值問題在單一點 a 同時給出 y(a) 與 y'(a)。這種區別很關鍵：係數良好的初值問題總恰有一個解，而邊值問題可能有一個解、沒有解、或無窮多解，因為你要穿出一條曲線，同時命中兩個分隔位置上的目標。

邊值問題是穩態物理的自然棲息地：兩端溫度固定的桿中的平衡溫度、夾在支座上承載橫樑的形狀、帶電壁面區域中的靜電勢。格林函數正是為對任意源求解線性邊值問題而造的工具，而斯圖姆-劉維爾理論則是自伴邊值問題的譜論。