斯圖姆-劉維爾問題（Sturm-Liouville problem）
/ STURM lee-oo-VEEL /
物理中許多最有用的展開——傅立葉級數、勒讓德級數、貝塞爾級數——看起來像奇蹟：任意函數竟能寫成一組恰好彼此正交的特殊函數之和。斯圖姆-劉維爾問題正是同時解釋所有這些現象的統一理論。它問：對於區間上給定的二階微分算子，參數（記作 lambda）取哪些特殊值時，方程既有非平凡解又滿足邊界條件？這些特殊值就是本徵值，對應的解就是本徵函數。
具體而言，斯圖姆-劉維爾問題是區間 [a, b] 上的本徵值方程 (d/dx)(p(x) dy/dx) + q(x) y + lambda w(x) y = 0，再配上兩端點的邊界條件。其中 p(x) > 0 與權函數 w(x) > 0 為給定函數。我們尋找使非零 y 同時滿足方程與邊界條件的配對 (lambda_n, y_n)。正如矩陣只有某些本徵值一樣，這個算子只允許離散的一列 lambda_1 < lambda_2 < ...，每個對應自己的本徵函數 y_n。正交性、完備性、廣義傅立葉級數這整套機制，都源於這個方程特殊的自伴形式。
這一點之所以重要，是因為幾乎每個用分離變量法求解的邊值問題，背後都藏著一個斯圖姆-劉維爾問題。振動弦給出 sin(n pi x / L)；圓形鼓面給出貝塞爾函數；球面給出勒讓德多項式。識別出這個共同的斯圖姆-劉維爾骨架，你就能複用同一套保證——本徵值為實、本徵函數正交、展開完備——而不必為每種新幾何形狀重新證明一遍。
取 [0, L] 上的 y'' + lambda y = 0，邊界條件 y(0) = y(L) = 0。這是 p = 1、q = 0、w = 1 的斯圖姆-劉維爾問題。僅當 lambda_n = (n pi / L)^2 時才有非平凡解，本徵函數為 y_n = sin(n pi x / L)——恰是兩端固定振動弦的正弦級數。
普通傅立葉正弦級數是最簡單的斯圖姆-劉維爾問題；更豐富的展開只是改變了 p、q、w。
並非每個二階常微分方程一開始就是斯圖姆-劉維爾問題，但任何線性方程都能通過乘以一個積分因子化為自伴形式——正是這一步開啟了全部譜論保證。