斯圖姆-劉維爾邊界條件（Sturm-Liouville boundary conditions）
本徵值問題一半是微分方程，一半是邊界條件；改變條件就改變了整個譜。對斯圖姆-劉維爾問題而言，邊界條件並非隨意——它們必須屬於能使算子自伴的那一類，因為只有這樣本徵值才為實、本徵函數才正交。因此，選對邊界條件的類別和寫對方程同樣關鍵。
三類條件可以勝任。正則（或稱分離）條件在每個端點獨立地施加齊次關係，如 alpha y(a) + alpha' y'(a) = 0 與 beta y(b) + beta' y'(b) = 0；狄利克雷（y = 0）、諾伊曼（y' = 0）、羅賓（混合）是常見情形。週期條件把兩端綁在一起，y(a) = y(b) 且 y'(a) = y'(b)，如在圓環上。奇異條件出現於 p(x) 在端點處為零時（如勒讓德在 x = +/-1、貝塞爾在 x = 0），或區間無界時；此時用正則性要求代替顯式條件——要求 y 保持有界，或對權函數平方可積。無論哪種情形，底層要求都相同：邊界項 p (u' v - u v') 在兩端的值，對一切容許的 u、v 都必須相消。
條件選錯，保證就化為烏有：本徵值可能變複，本徵函數可能不正交，所構造的展開也不會收斂到你出發時的函數。這就是為什麼對球面而言，那條沒說出口的邊界條件不過是在極點處有界，而對導熱棒來說，絕熱端就是一個諾伊曼條件——辨認出哪種物理情形對應哪種斯圖姆-劉維爾邊界條件，正是建模真正發生之處。
在兩端絕熱的均勻棒 [0, L] 上，熱方程本徵值問題 y'' + lambda y = 0 帶諾伊曼條件 y'(0) = y'(L) = 0。本徵函數為 cos(n pi x / L)，n = 0, 1, 2, ...，包括常數模 lambda = 0——它編碼了守恆的總熱量。
方程與固定弦相同，但把狄利克雷換成諾伊曼邊界，基底就從正弦翻為餘弦，並多出一個零本徵值。
週期邊界條件可能給出帶兩個獨立本徵函數的本徵值（簡併），這與每個本徵值都單重的正則分離條件不同——在數模式時，這是個雖小卻要緊的差別。