羅賓邊界條件
/ ROB-in /
真實的邊界很少像固定溫度或完美絕熱那樣乾淨。一根暴露在空氣中的熱管，其表面溫度既不是被規定的，也不是絕熱的——它以一個取決於自己比空氣熱多少的速率向周圍散熱。邊界的通量與它的取值被聯繫在一起。羅賓邊界條件正是通過規定場值與其法向導數的某種組合，來刻畫這種現實的居中情形。
形式上它寫作邊界上 a u + b (partial u / partial n) = g，其中 a 與 b 是給定的常數（或函數），partial / partial n 是向外的法向導數——一個把取值與斜率混在一起的方程。令 b = 0 退化為狄利克雷條件（只有取值），令 a = 0 退化為諾伊曼條件（只有斜率），所以羅賓是把二者作為極限包含在內的真正推廣。典型例子是表面處的牛頓冷卻定律 -k (partial u / partial n) = h (u - u_環境)：離開表面的熱量（一個通量，因而是法向導數）正比於表面與周圍介質的溫差，h 是傳熱係數。整理一下，這恰是一個羅賓條件。
羅賓條件是對流散熱、滲漏或吸收邊界、接觸電阻，以及樑與膜的彈性支承邊緣的恰當模型。在分離變量解裡，它們使本徵值方程變成超越方程——本徵值是諸如 tan(lambda L) =（某式）這樣方程的根，不再是狄利克雷與諾伊曼情形裡整齊的 n pi / L——所以得到的級數仍是本徵函數展開，但本徵值必須數值求出。這是為現實的、部分開放的邊界建模所付出的誠實代價。
一根右端通過對流向溫度為 0 的空氣散熱的棒，滿足 -k u_x(L, t) = h u(L, t)，一個羅賓條件。空間本徵值 lambda 於是滿足超越方程 tan(lambda L) = -k lambda / h，必須數值定位。
對流冷卻把取值與斜率聯繫起來；代價是本徵值不再以 pi 的整齊倍數出現。
羅賓並非另一種異類情形，而是一般的線性邊界條件；狄利克雷與諾伊曼是它的兩個極限，所以任何既保持又滲漏的物理邊界，用羅賓條件描述最為誠實。