諾伊曼邊界條件
/ NOY-mahn /
有時你控制的不是區域邊緣處的取值，而是穿過它的流。把一根棒裹上完美的絕熱層，你並沒有固定兩端的溫度——你要求的是沒有熱量穿過兩端。要固定溫度你會指定一個值；要固定流你必須指定一個斜率，因為通量正比於梯度。諾伊曼邊界條件就是固定那個斜率的規定——邊界上場的法向導數。
形式上，在邊界上你要求 partial u / partial n = h，其中 partial / partial n 是沿垂直於邊界的法方向的導數，h 是給定函數。由傅立葉定律及其類比，那個法向導數恰是穿過牆壁的通量，所以諾伊曼條件指定了多少熱、電荷或流體穿過邊界。最重要的特例是齊次諾伊曼條件 partial u / partial n = 0，它說完全沒有通量——完美絕熱的壁、不可穿透的屏障，或自由（無外力）的邊緣。對區間上的熱方程或拉普拉斯方程，這個條件使空間本徵函數成為餘弦而非正弦，並容許一個常數模態（n = 0 項），那是狄利克雷條件所禁止的。
凡邊界被絕熱、密封或對稱時，諾伊曼條件就是恰當的模型：絕熱的棒端、熱孤立物體的表面、流體無法穿過的壁，或通量必須為零的對稱面。拉普拉斯方程或卜瓦松方程的純諾伊曼問題有個微妙之處：解只確定到相差一個可加常數（你可以把整體溫度均勻抬高而不改變任何斜率），而對卜瓦松方程，只有當總源與總的規定邊界通量相平衡時解才存在——這是一條內建的守恆律，稱為相容性或可解性條件。
一根絕熱的棒滿足 u_x(0, t) = 0 與 u_x(L, t) = 0（無熱量從兩端逸出）。空間本徵函數現在是 cos(n pi x / L)，包括常數 n = 0 模態；物理上總熱量守恆，棒弛豫到一個等於初始平均值的均勻溫度。
絕熱把斜率固定為零，選出餘弦函數，並守恆總量——常數模態永遠存留。
純諾伊曼問題只把場確定到相差一個可加常數，而對卜瓦松方程，除非源與邊界通量相平衡，否則它根本無解——那個可解性條件不是技術細節，而是守恆的陳述。