格林函數與邊值問題
可解性條件（solvability condition）
有些方程除非右端配合，否則拒絕被求解。最樸素的例子：你只能在源 f 的平均為零時，才能在圓周上（週期邊界）解 u'' = f，因為把 u'' 沿環路積分左邊得零，所以總源必須平衡。可解性條件正是這樣一種約束——一項源在任何解能存在之前必須通過的檢驗。
一般的陳述來自伴隨。當齊次問題 L u = 0 有非平凡解時，非齊次問題 L u = f 正處在「無解」與「無窮多解」的分界上。弗雷德霍姆擇一律給出裁決：L u = f 可解，當且僅當 f 與齊次伴隨問題 L* v = 0 的每個解 v 正交，即 f 乘以 v 的積分對每個這樣的 v 都為零。這個正交性要求就是可解性條件。當它成立時，解存在但不唯一——你可以加上任何齊次解。當它不成立時，無解。
一旦本徵值登場，可解性條件無處不在。恰好在共振處被驅動的受迫振子沒有有界的穩態解，因為驅動力與共振模不正交——這正是一個被違反的可解性條件，物理上也正是共振使振幅爆增的原因。在微擾論與多尺度分析中，在每一階強加可解性條件，恰恰就是去除長期（無界）項並確定慢變演化的方法。當普通格林函數不存在時，你也必須尊重這個條件才能定義修正格林函數。
在 [0, 1] 上解 u'' + pi^2 u = f，邊界 u(0) = u(1) = 0。齊次問題有非零解 sin(pi x)（pi^2 是本徵值），所以解存在僅當從 0 到 1 的 f(x) sin(pi x) dx 積分 = 0——源沿共振模的分量必須為零。
當零實際上是本徵值時，源必須與對應的模正交，否則無解。
可解性條件檢驗的是與伴隨齊次解的正交性，而非與 L 自身齊次解的正交性。對自伴問題兩者重合，所以這一區別容易被遺忘——但對非自伴算子，用錯零空間就會給出錯誤的條件。
又稱
另見