弗雷德霍姆擇一律（Fredholm alternative）
/ FRED-holm /
對方陣線性系統 A x = b，你學過一個乾淨的「非此即彼」：要麼 A 可逆，對每個 b 恰有一個解；要麼 A 奇異，那麼 b 必須落在一個特殊子空間中才會有解，此時解有無窮多個。弗雷德霍姆擇一律正是把這同一二分法提升到微分算子與積分算子——線性邊值問題何時可解的結構性法則。
對邊值問題 L u = f 陳述如下：兩種情形恰好成立其一。要麼齊次問題 L u = 0 只有平凡解，那麼 L u = f 對每個源 f 都有唯一解（且真正的格林函數存在）。要麼齊次問題有非平凡解，那麼 L u = f 僅對滿足可解性條件——與齊次伴隨問題 L* v = 0 的每個解正交——的源 f 可解，且可解時解不唯一，只確定到相差任意齊次解。L 的獨立齊次解個數等於 L* 的個數，所以維數像有限維線性代數中那樣恰好匹配。
這是本領域其餘一切的組織原則。它預先告訴你格林函數是否存在、共振何時會擊敗穩態解、以及源必須滿足什麼相容性。它對緊緻積分算子與物理中的橢圓型邊值問題成立，因此支撐著拉普拉斯方程、亥姆霍茲方程與穩態方程的嚴格理論。誠實的告誡：這個乾淨的擇一律要求算子屬於正確類型（弗雷德霍姆型，核為有限維）——對具有連續譜的算子它可能失效，那裡存在性更為微妙。
對 [0, 1] 上 u'' + lambda u = f，邊界 u(0) = u(1) = 0：若 lambda 不是本徵值 (n pi)^2，齊次問題只有 u = 0，故對每個 f 都有唯一解。若 lambda = (n pi)^2，僅當 f sin(n pi x) dx 的積分 = 0 時才有解，且此時解不唯一。
把 lambda 調到本徵值上，問題就從「總能唯一求解」翻轉為「僅在源相容時可解」。
這個擇一律是窮盡的，但只在其前提之內：它是關於弗雷德霍姆算子（核與餘核均為有限維）的定理。不要對無窮維空間上任意的無界算子假定這個整潔的二分法，那裡連續譜可能打破二擇一。