伴隨算子（adjoint operator）
對矩陣 A，轉置 A^T 是讓你把 A 從點積一側滑到另一側的搭檔：A x 與 y 的點積等於 x 與 A^T y 的點積。伴隨算子是同一想法對微分算子的版本：它是搭檔 L*，讓你在積分內積中把 L 從第一個函數挪到第二個函數上，沿途只付一筆邊界項的過路費。
具體地，對作用於 [a, b] 上函數的微分算子 L，其形式伴隨 L* 由拉格朗日恆等式定義：(L u) v 的積分減去 u (L* v) 的積分，等於在 a 與 b 處求值的一個邊界項。分部積分同時產生 L* 與那個邊界項。當你再用為消去邊界項而選的伴隨邊界條件來固定函數空間時，就得到完整的伴隨邊值問題。特殊而核心的情形是 L 等於 L* 且邊界條件與其自身的伴隨相匹配——此時問題是自伴的，邊界項按設計消失，你便繼承了實本徵值、正交本徵函數與對稱格林函數 G(x, s) = G(s, x)。斯圖姆-劉維爾形式的存在，正是為了使二階問題自伴。
伴隨是通往可解性的門戶。非齊次問題 L u = f 是否可解、其解是否唯一，都由伴隨問題 L* v = 0 通過弗雷德霍姆擇一律決定：僅當 f 與齊次伴隨問題的每個解正交時，解才存在。所以即便你只關心 L，也避不開 L*——它掌管存在性、唯一性以及格林函數的互易對稱。
對 [0, 1] 上 L u = u''，兩次分部積分給出 u'' v 的積分 - u v'' 的積分 = [u' v - u v'] 從 0 到 1，所以 L* v = v''——算子形式上自伴。配上匹配的邊界條件 u(0) = u(1) = 0，邊界項消失，L 真正自伴，迫使 G 對稱。
自伴既需要正確的算子形式，也需要正確的邊界條件——邊界項必須消亡。
一個算子可以是形式自伴的（作為符號 L = L*），但若邊界條件未能消去邊界項，作為一個問題它仍不自伴。自伴是算子連同其邊界條件的性質，絕不是微分表達式單獨的性質。