自伴形式（self-adjoint form）

為什麼某個微分算子的本徵函數彼此正交，而另一個的卻不正交？決定性的特徵是一種結構對稱性，稱為自伴性——它是對稱矩陣在微分方程中的對應物。對稱矩陣保證本徵值為實、本徵向量正交；寫成自伴形式的算子繼承同樣的保證。自伴形式不過是把二階算子寫成讓這種對稱性顯現出來的特殊樣式。

當算子寫成 L[y] = (d/dx)(p(x) dy/dx) + q(x) y 時即為自伴形式——注意導數項被打包成 p 乘 y' 的一個恰當導數。一般算子 a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y 通常不是這個樣子，但總能強行化過去：把整個方程乘以積分因子 mu(x) = (1/a) exp(integral of (b/a) dx)，前兩項就併成 (d/dx)(p y')，其中 p = mu a。回報是：在合適的邊界條件下，對 L 分部積分兩次可把算子從一個函數轉移到另一個函數而不留邊界項——即形式恆等式 integral of u L[v] dx 等於 integral of v L[u] dx。正是這種對稱性強制了本徵值為實與正交性。

實踐中，求解應用本徵值問題時幾乎總要先化為自伴形式，因為只有這樣權函數 w(x) 才無歧義，正交積分也才帶有正確的權重。勒讓德、貝塞爾、埃爾米特、拉蓋爾方程乘以恰當因子後都成為自伴形式，這正是它們的解構成相互正交的函數族、可用作展開基底的原因。