本徵函數的正交性（orthogonality of eigenfunctions）
正交性正是一組基好用的原因。如果你的構件彼此垂直，你就能獨立讀出某函數中含有每個構件多少，就像不必解方程組就能讀出向量的 x、y、z 座標。對斯圖姆-劉維爾問題，屬於不同本徵值的本徵函數自動正交——關於權 w——這一個事實就把廣義傅立葉展開從一個困難的線性代數問題變成了一串簡單積分。
用文字說說機制。取兩個本徵函數 y_m、y_n，本徵值 lambda_m 不等於 lambda_n，各自滿足自伴方程。把 m 方程乘以 y_n、n 方程乘以 y_m，相減，在 [a, b] 上積分。導數項合併為邊界表達式 p (y_m' y_n - y_m y_n') 的全導數，積分後給出一個被邊界條件消滅的邊界項。剩下的是 (lambda_m - lambda_n) 乘以 integral of y_m y_n w dx 等於零。因本徵值不同，積分必為零：integral from a to b of y_m(x) y_n(x) w(x) dx = 0。權 w 不是可選項——它恰是方程遞給你的那個係數。
這種正交性是應用本徵函數方法的主力。要求展開 f = sum of c_n y_n 中的係數 c_n，你做投影：乘以 y_n w 並積分，其餘每一項都掉光，剩下 c_n =（integral of f y_n w dx）/（integral of y_n^2 w dx）。這與求傅立葉係數是同一招，如今用於勒讓德、貝塞爾、埃爾米特或任何斯圖姆-劉維爾基底。沒有正交性，你就得改去求逆一個無窮耦合的方程組。
勒讓德多項式滿足：當 m 不等於 n 時，integral from -1 to 1 of P_m(x) P_n(x) dx = 0（權 w = 1）。於是要在 [-1, 1] 上展開 f(x) = x^2，只需算出它在 P_0、P_1、P_2 上的投影，便得 x^2 = (1/3) P_0 + (2/3) P_2——無需解任何方程。
正交性把求係數化為一組互不相干的積分，一個模式一個。
不同本徵值保證正交；若某一本徵值帶有多個獨立本徵函數（簡併，週期條件下常見），它們並不自動正交，你須用格拉姆-施密特手工正交化。